Diketahui \(A = \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \), \( B^{-1} = \frac{1}{2(b-3)} \begin{pmatrix} b-2 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \), dan \( C = \begin{pmatrix} a+b & -1 \\ c & 1 \end{pmatrix} \). Jika \( AB = \begin{pmatrix} -20 & c \\ -16 & -4 \end{pmatrix} \) dan \( C^T \) menyatakan transpos matriks C, maka \( \det (C^T) = \cdots \)
- -7
- -8
- -9
- -10
- -11
Pembahasan:
Perhatikan bahwa matriks C memuat variabel \( a, b, \) dan c sehingga untuk menentukan nilai determinan dari matriks \( C^T \), kita perlu mencari nilai ketiga variabel tersebut terlebih dahulu. Kita gunakan sifat perkalian matriks berikut:
\begin{aligned} A = AI \Leftrightarrow A &= ABB^{-1} \\[8pt] \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -20 & c \\ -16 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b-2 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2(b-3)} \\[8pt] \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\[8pt] -5 & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -20b+40+2c & -20+2c \\[8pt] -16b+32-8 & -16-8 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2(b-3)} \\[8pt] \begin{pmatrix} a-3 & 4 \\[8pt] -5 & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} -20b+40+2c & -20+2c \\[8pt] -16b+24 & -24 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2(b-3)} \end{aligned}
Dari kesamaan matriks di atas, kita peroleh:
\begin{aligned} 3 = \frac{-24}{2(b-3)} \Leftrightarrow 3(b-3) &= -12 \\[8pt] b-3=-4 \Leftrightarrow b &= -1 \\[8pt] 4 = \frac{-20+2c}{2(b-3)} \Leftrightarrow 4 &= \frac{-20+2c}{2(-1-3)} \\[8pt] 4 = \frac{-20+2c}{-8} \Leftrightarrow -20+2c &= -32 \\[8pt] 2c = -12 \Leftrightarrow c &= -6 \\[8pt] a-3 = \frac{-20b+40+2c}{2(b-3)} \Leftrightarrow a-3 &= \frac{-20(-1)+40+2(-6)}{2(-1-3)} \\[8pt] a-3 = \frac{-20+40-12}{-8} \Leftrightarrow a-3 &= \frac{48}{-8} \\[8pt] a-3 = -6 \Leftrightarrow a &= -3 \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh berikut ini:
\begin{aligned} C &= \begin{pmatrix} a+b & -1 \\ c & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3-1 & -1 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} \\[8pt] &= \begin{pmatrix} -4 & -1 \\ -6 & 1 \end{pmatrix} \\[8pt] \det C &= -4 \cdot 1 - (-1) \cdot (-6) \\[8pt] &= -4-6 = -10 \end{aligned}
Karena transpos matriks memiliki determinan yang sama dengan matriks semula, maka \( \det(C^T) = \det C = -10 \). Jadi determinan matriks \( C^T \) adalah -10.
Jawaban D.